8 Indeksy indywidualne i zespołowe
Indeksy indywidualne i zespołowe umożliwiają ocenę zmian w dwóch różnych okresach uwzględniając stałą ilość bądź wartość dla danego koszyka produktów. Najbardziej znanym przykładem indeksu zespołowego jest wskaźnik cen towarów i usług konsumpcyjnych czyli miara inflacji/deflacji.
8.1 Indeksy indywidualne
Indeksem indywidualnym nazywamy stosunek poziomów tego samego pojedynczego zjawiska z dwóch różnych okresów (momentów). W statystyce społeczno-ekonomicznej rozpatruje się zwykle trzy rodzaje indywidualnych wskaźników dynamiki, a mianowicie: indeksy cen, ilości i wartości.
Indeks indywidualny cen wyraża relację poziomu cen określonego dobra w okresie badanym i w okresie podstawowym, co można zapisać następująco:
\[i_p=\frac{p_1}{p_0}\]
gdzie:
- \(i_p\) — indywidualny indeks cen,
- \(p_1\) — cena jednostki wyrobu w okresie badanym,
- \(p_0\) — cena jednostki wyrobu w okresie podstawowym.
Indeks indywidualny ilości oblicza się jako stosunek ilości określonego wyrobu wytworzonego w okresie badanym i w okresie podstawowym:
\[i_q=\frac{q_1}{q_0}\]
gdzie:
- \(i_q\) — indywidualny indeks ilości,
- \(q_1\) — ilość wyrobu wyprodukowanego w okresie badanym,
- \(q_0\) — ilość wyrobu wyprodukowanego w okresie podstawowym.
Iloczyn ilości wyrobu wytworzonego w okresie badanym i ceny tego wyrobu z okresu badanego daje w wyniku wartość wyrobu w okresie badanym. Podobnie wylicza się wartość wyrobu w okresie podstawowym. W związku z tym indywidualny indeks wartości to iloraz wartości wyrobu wytworzonego w okresie badanym i w okresie podstawowym:
\[i_w=\frac{q_1p_1}{q_0p_0}=\frac{w_1}{w_0}\]
gdzie:
- \(i_w\) — indywidualny indeks wartości,
- \(w_1\) — wartość wyrobu w okresie badanym,
- \(w_0\) — wartość wyrobu w okresie podstawowym.
Indywidualne indeksy cen, ilości i wartości informują o zmianie (wzroście lub spadku) tych wielkości w okresie badanym w porównaniu z okresem przyjętym za podstawę porównań. Między indywidualnymi indeksami cen, ilości i wartości obliczonymi dla tego samego produktu zachodzi następujący związek:
\[i_w=i_pi_q\]
Relacja określona powyższym wzorem nosi nazwę równości indeksowej dla indeksów indywidualnych. W przypadku gdy nie dysponujemy informacjami wyjściowymi, równość indeksowa umożliwia — przy znajomości dowolnej pary spośród trzech indeksów — obliczenie trzeciego indeksu.
8.2 Indeksy zespołowe (agregatowe)
W praktyce badań statystycznych niejednokrotnie zachodzi potrzeba obliczenia indeksów dotyczących nie indywidualnych jednostek, ale całego zespołu (agregatu, zbioru) jednostek. Do badania dynamiki całego zespołu zjawisk — zwykle niejednorodnych i bezpośrednio niesumowalnych — stosowane są indeksy zespołowe (agregatowe). Konstrukcja indeksów zespołowych opiera się na wykorzystaniu określonych współczynników przeliczeniowych, odgrywających rolę wag. Rolę wag najczęściej spełniają ceny lub ilości.
Agregatowy indeks wartości określonego zespołu artykułów jest ilorazem sum wartości badanych dóbr w okresie badanym i w okresie podstawowym:
\[I_w=\frac{\sum q_1p_1}{\sum q_0p_0}\]
gdzie:
- \(I_w\) — agregatowy indeks wartości badanego zespołu artykułów,
- \(\sum q_1p_1\) — suma wartości badanego zespołu w okresie badanym,
- \(\sum q_0p_0\) — suma wartości badanego zespołu w okresie podstawowym.
Agregatowy indeks wartości wyraża zmiany, jakie nastąpiły w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym zarówno w ilościach określonego zespołu artykułów, jak i w ich cenach. W celu obliczenia siły i kierunku zmian wyłącznie ilości lub wyłącznie cen wyrobów wschodzących w skład agregatu buduje się agregatowe indeksy ilości i agregatowe indeksy cen. Do uzyskania agregatowego indeksu ilości unieruchamiane (ustalane na stałym poziomie) są ceny, natomiast do uzyskania agregatowego indeksu cen unieruchamiane są ilości. Każdy z tych indeksów może być wyliczony w oparciu o dwie formuły — Laspeyresa i Paaschego. W indeksie Laspeyresa unieruchamia się ilość lub cenę na poziomie okresu podstawowego, natomiast we wzorze Paaschego stała jest ilość bądź cena na poziomie okresu badanego.
Agregatowy indeks ilości Laspeyresa ma postać:
\[I_q^L=\frac{\sum q_1p_0}{\sum q_0p_0}\]
Agregatowy indeks ilości Paaschego oblicza się następująco:
\[I_q^P=\frac{\sum q_1p_1}{\sum q_0p_1}\]
Agregatowe indeksy ilości informują o tym, o ile — przeciętnie biorąc — wzrosła lub zmalała ilość określonego zbioru artykułów w okresie badanym w porównaniu z odpowiednim okresem podstawowym.
Agregatowy indeks cen Laspeyresa ma postać:
\[I_p^L=\frac{\sum q_0p_1}{\sum q_0p_0}\]
Agregatowy indeks cen Paaschego oblicza się następująco:
\[I_p^P=\frac{\sum q_1p_1}{\sum q_1p_0}\]
Agregatowe indeksy cen odpowiadają na pytanie, jak zmieniły się — przeciętnie biorąc — ceny danego zbioru artykułów w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym, przy unieruchomieniu ilości w obu okresach, zgodnie z przyjętą formułą.
W przypadku niezbyt odległych okresów porównawczych (tzn. okresu podstawowego i badanego) obliczane są też agregatowe indeksy cen i ilości według formuły Fishera.
Agregatowy indeks ilości Fishera wyrażony jest formułą:
\[I_q^F=\sqrt{I_q^L \cdot I_q^P}\]
Agregatowy indeks cen Fishera oblicza się następująco:
\[I_p^F=\sqrt{I_p^L \cdot I_p^P}\]
Agregatowe indeksy cen i ilości Fishera informują o tym, o ile — przeciętnie biorąc — wzrosła lub zmalała ilość lub cena określonego zbioru artykułów w badanym okresie.
Pomiędzy agregatowymi indeksami wartości, cen i ilości zachodzą następujące związki:
\[I_w = I_p^L \cdot I_q^P = I_p^P \cdot I_q^L = I_p^F \cdot I_q^F\]
Związek określony powyższą relacją nosi nazwę równości indeksowej dla indeksów agregatowych (zespołowych). Jeśli dysponujemy informacjami o poziomach dwóch spośród trzech omawianych indeksów agregatowych, to możemy obliczyć wielkość trzeciego indeksu.
8.3 Przykład
W tabeli zebrano informacje na temat sprzedaży piwa (w sztukach) oraz średniej ceny (w zł) z trzech browarów w dwóch kolejnych miesiącach.
| styczeń | luty | |||
|---|---|---|---|---|
| Browar | p0 | q0 | p1 | q1 |
| Carlsberg | 2,30 | 5009 | 2,28 | 4437 |
| Kompania Piwowarska | 2,69 | 5806 | 2,63 | 5882 |
| Zywiec | 2,51 | 7934 | 2,45 | 7613 |
- Jak zmieniła się wartość sprzedanych piw w porównywanych okresach?
- Jaki wpływ na zmianę wartości miała dynamika cen, a jaki dynamika ilości sprzedawanych piw?
W kolejnej tablicy przedstawione są wyniki obliczeń pomocniczych:
| Piwo | q0p0 | q1p1 | q0p1 | q1p0 |
|---|---|---|---|---|
| Carlsberg | 11526,95 | 10133,76 | 11440,17 | 10210,64 |
| Kompania Piwowarska | 15590,44 | 15456,79 | 15257,08 | 15794,52 |
| Zywiec | 19909,22 | 18671,07 | 19458,33 | 19103,72 |
| Razem | 47026,62 | 44261,62 | 46155,57 | 45108,88 |
Podstawiając odpowiednie wartości do wzoru na agregatowy indeks wartości, otrzymujemy:
\[I_w=\frac{44261,62}{47026,62} \cdot 100\%=94,12\%\]
Otrzymany wynik oznacza, że łączna wartość piw ze wszystkich trzech browarów w lutym jest o 5,88% niższa od wartości ze stycznia. Spadek wartości o 5,88% spowodowany jest zmianami cen i ilości produkowanych wyrobów.
Agregatowe indeksy ilości Laspeyresa i Paaschego są równe:
\[I_q^L=\frac{45108,88}{47026,62} \cdot 100\% = 95,92\%\]
\[I_q^P=\frac{44261,62}{46155,57} \cdot 100\% = 95,90\%\]
Agregatowy indeks ilości Laspeyresa informuje o tym, że sprzedaż piw z trzech browarów łącznie w lutym w porównaniu ze styczniem spadła o 4,08%, przy założeniu, że ceny w lutym były takie same jak w styczniu.
Agregatowy indeks ilości obliczony według formuły Paaschego wskazuje, że sprzedaż piw z trzech browarów łącznie w lutym spadła — w porównaniu ze styczniem — o 4,10% przy stałych cenach z lutego.
Agregatowe indeksy cen Laspeyresa i Paaschego wynoszą:
\[I_p^L=\frac{46155,57}{47026,62} \cdot 100\% = 98,15\%\]
\[I_p^P=\frac{44261,62}{45108,88} \cdot 100\% = 98,12\%\]
Agregatowy indeks cen Laspeyresa oznacza, że — przeciętnie biorąc — cena piwa składających się na badany agregat spadły w lutym w porównaniu do stycznia o 1,85%, przy zachowaniu umownego założenia, że w lutym sprzedano te same ilości każdego piwa co w styczniu.
Agregatowy indeks cen Paaschego informuje o tym, że ceny badanych piw w lutym spadły — średnio biorąc — w porównaniu ze stycznie o 1,88%, przy założeniu, że w styczniu roku sprzedano te same ilości piwa co w lutym.
Agregatowe indeksy cen i ilości przy zastosowaniu formuły Fishera są równe:
\[I_q^F=\sqrt{0,9592 \cdot 0,9590} = 0,9591 \cdot 100\% = 95,91\%\]
\[I_p^F=\sqrt{0,9815 \cdot 0,9812} = 0,9813 \cdot 100\% = 98,13\%\]
Agregatowy indeks ilości Fishera oznacza, że ilość sprzedanych piw spadła w lutym w porównaniu do stycznia średnio o 4,09%.
Agregatowy indeks cen Fishera informuje o tym, że ceny sprzedanych piw spadły w lutym w porównaniu do stycznia średnio o 1,87%.
Zadania
Przeprowadź wszechstronną analizę dynamiki cen i ilości w sklepach typu dyskont, hypermarket, sieci detalicznej, spożywczych oraz supermarketach w miesiącach maj i lipiec.
Wartość produkcji dwóch wyrobów trwałego użytku w Polsce w latach 2004-2005 przedstawia następująca tabela. Wiedząc, że łączna wartość sprzedaży tych dóbr w 2004 wynosiła 262479 mln zł, scharakteryzuj jej dynamikę, uwzględniając zmiany cen oraz ilości.
| Nazwa wyrobu | Wartość sprzedaży w 2005 (mln zł.) | Zmiany ilości |
|---|---|---|
| Radio | 38410 | Spadek o 35% |
| Telewizor | 423800 | Wzrost o 49% |
| Suma | 462210 | x |
Opracowano na podstawie: Sobczyk Mieczysław, 2002, Statystyka, Wydawnictwo Naukowe PWN.